ARTMETICA BINARIA

La Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones.
Suma en binario
Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:
+ 0 1
0 0 1

1 1 0 + 1
Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:
010 + 101 = 111 210 + 510 = 710
001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010
1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110
110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810
Ejercicio 1:
Realiza las siguientes sumas de números binarios:
111011 + 110
111110111 + 111001
10111 + 11011 + 10111
Sustracción en binario
La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.
- 0 1

0 0 1

1 1 + 1 0
Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:
111 – 101 = 010 710 – 510 = 210
10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710
11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610
111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410
Ejercicio 2:
Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos al sistema decimal:
111011 - 110
111110111 - 111001
1010111 - 11011 – 10011
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:
Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:
100110011101 1001 1001 1101
010101110010 0101 0111 0010
010000101011 0100 0010 1011
Calculando el complemento a dos del sustraendo
Complemento a dos
El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:
C2N = 2n – N
Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:
N = 4510 n = 6 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112
Ejercicio 3:
Calcula el complemento a dos de los siguientes números:
11001, 10001011, 110011010
Complemento a uno
El complemento a uno de un número N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad menor que el complemento a dos, es decir:
C1N = C2N - 1
y, por la misma razón:
C2N = C1N + 1
Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior:
siendo N = 101101, y su complemento a dos C2N = 010011
C1N = C2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010
C1N = 010010
Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de comlicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece.
En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si:
N = 110100101
obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:
C1N = 001011010
y su complemento a dos es:
C2N = C1N + 1 = 001011011
¡es muy fácil!
Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea:
N = 0110110101
El complemento a uno es:
C1N = 1001001010
y el complemento a dos es:
C2N = 1001001011